لغز.

لغز الرجل وأعمار أبنائه الثلاثة

زار رجل صديقاً له في بيته ، وعندما سأله عن أبنائه: عددهم وأعمارهم قال صاحب البيت ممازحاً ضيفه : إن عدد أبنائي ثلاثة ومجموع أعمارهم 13، فهل تعرف كم عمر كل منهم؟ إستشعر الضيف حرجا و طلب من الوالد معلومات إضافية حتى يتمكن من حل اللغز ودار الحديث التالي بينهما :

نص المسألة :

 
زار رجل صديقاً له في بيته ، وعندما سأله عن أبنائه: عددهم وأعمارهم قال صاحب البيت ممازحاً ضيفه :
إن عدد أبنائي ثلاثة ومجموع أعمارهم 13، فهل تعرف كم عمر كل منهم؟
فقال الضيف:
هذه المعلومات لا تكفي
فقال صاحب البيت:
إن حاصل ضرب أعمارهم الثلاثة يعادل عمري؟
فقال الضيف
وكم عمرك؟
فأجاب صاحب البيت
عمري كذا سنة ( وأخبره بعمره )
فكر الضيف قليلاً ثم قال
لا تزال هذه المعلومات غير كافية
فقال الرجل
عين الصغير زرقاء
فقال الضيف
هذا يكفي ، الآن عرفت أعمارهم.
السؤال : كم أعمار الأولاد الثلاثة ؟ وكم عمر والدهم (صاحب البيت)؟ وكيف عرف الضيف ذلك؟

حل المسألة :

في حل هذا النوع من المسائل نفترض أعماراً صحيحة مع السماح بتوأم على الأكثر لتسهيل منطقية الحل. إذا كان عدد الأبناء 3 ومجموع أعمارهم 13 فستكون لدينا الاحتمالية التالية (وهو ما افترضه الضيف في تحليله أولاً).

1+1+11=13	1+2+10=13	1+3+9=13	1+4+8=13	1+5+7=13	1+6+6=13	2+2+9=13
2+3+8=13	2+4+7=13	2+5+6=13	3+3+7=13	3+4+6=13	3+5+5=13	4+4+5=13

أي أن لدينا 14 احتمالاً ممكناً وبالتالي فإن المعطيات لم تكن كافية. وعندما قال له والد الأبناء بأن حاصل ضرب أعمارهم يعادل عمره وأخبره بعمره فإن علينا أنت نتصور عمر الرجل بشكل منطقي أيضاً وهو أكبر من أكبر الأبناء وكذلك عدد صحيح. من المنطقي أيضاً أن ينجب الرجل بعد سن البلوغ أي أن عمره على الأقل يفوق عمر أكبرهم مضافاً إليه 15 سنة.

إن أكبر احتمال ممكن لعمر الأكبر من القائمة السابقة هو 11 سنة بينما أصغر احتمال ممكن لعمر الأكبر هو 5 سنوات. هذا يعني أن عمر الرجل على الأقل هو 20 سنة. بإعادة فرض الاحتمالات الممكنة نجد أن الأعمار السابقة ممكنة تقريباً عدا الأول. عموماً الرجل كان قد حصل على عمر الرجل هذا يعني أن نبحث عن عمليات ضربية مما سبق كما يلي:

1×1×11=11	1×2×10=20	1×3×9=27	1×4×8=32	1×5×7=35	1×6×6=36	2×2×9=36
2×3×8=48	2×4×7=56	2×5×6=60	3×3×7=63	3×4×6=72	3×5×5=75	4×4×5=80

ومع أن عمر الوالد كان ضمن القائمة بيد أن الضيف طلب الرجل معلومات أخرى وهذا يعني أنه واجه مشكلة تكرار احتمالين أو أكثر. لو ركزنا في المضاريب السابقة فسنجد أن الاحتمالات المتكررة كانت:

1× 6 × 6 = 36 أو 2 × 2 × 9 = 36

وهذا يعني أن عمر والد الأبناء كان 36 عاماً. لذلك طلب الضيف من والد الأبناء معلومة إضافية فأخبره بأن عين الصغير زرقاء وهنا استشف الضيف بأن أصغر الأبناء ليس له توأم فاستثنى الاحتمال الأخير وأخذ الاحتمال 1،6،6. أي أن أعمار الأبناء كانت:

الأصغر سنة، الإثنان الآخران توأم كل منهما 6 سنوات وعمر الأب 36 سنة

مربع عدد.

حساب ذهني : مربع عدد مؤلف من رقمين

أتريد أن تتعلم تقنية سهلة و ناجعة لحساب مربع عدد مؤلف من رقمين ( أي رقمين تريد )...
هذه إحدى تقنيات الحساب الذهني التي من خلالها ستتمكن من حساب مربع أي عدد صحيح مكون من رقمين. التقنية تعتمد على ثلاث خطوات هي كالتالي:

• نفرض أن العدد هو 67 و نحسب 67²

? = 67²

1. خطوة (1) : أحسب مربع رقم وحدات 67 ( هنا رقم الوحدات هو 7 ومربع 7 هو 49 ). ضع 9 و إحتفظ ب 4.
2. خطوة (2) : أحسب جداء هذين الرقمين ( هنا لدينا 42 = 7 × 6 ) ثم أضرب الناتج في 2 ( أي: 84 = 2 × 42 ). أضف إحتفاظ الخطوة (1) إلى 84  ( 88 = 4 + 84 ) و ضع 8 و إحتفظ ب 8 .
3. خطوة (3) : أحسب مربع رقم عشرات 67 (رقم العشرات هو 6 ومربع 6 هو 36 ) و أضف إحتفاظ الخطوة (2) إلى 36 ( 44 = 8 + 36 ).

إذن : 4489 = 67²

• مثال رقم 2

? = 32²

1. رقم وحدات 32 هو 2 ومربع 2 هو 4. نضع 4 
2. 6 = 3 × 2 و 12 = 2 × 6. نضع 2 و نحتفظ ب 1 
3. رقم عشرات 32 هو 3 ومربع 3 هو 9. نضيف 1 غلى 9 ( 10 = 1 + 9 ).

إذن : 1024 = 32²

• مثال رقم 3

? = 73²

1. رقم وحدات 73 هو 3 ومربع 3 هو 9. نضع 9
2. 21 = 3 × 7 و 42 = 2 × 21. نضع 2 و نحتفظ ب 4 
3. رقم عشرات 73 هو 7 ومربع 7 هو 49. نضيف 1 غلى 9 ( 53 = 4 + 49 ).

إذن : 5329 = 73²

طريقة أخرى لحساب مربع عدد مؤلف من رقمين  على 3 مراحل :

1. خطوة (1) : أحسب مربعي الرقمين.
2. خطوة (1) : أحسب ضعف جداء الرقمين و أضرب الناتج في 10 
3. خطوة (1) : إجمع ناتجي الخطوتين السابقتين

• مثال توضيحي 1

نفرض أن العدد هو 32. ? = 32²

1. 3×3= 9 و 2×2 = 4 :  نضع 0904 ( هام : عند حساب المربع وفي حالة الحصول على رقم واحد نضع 0 على يسار هذا الرقم ) 
2. 120 = 10 × 2 × 3 × 2 
3. 1024 = 120 + 0904

إذن : 1024 = 32²

• مثال توضيحي 2 

نفرض أن العدد هو 56. ? = 56² 

1. 25 = 5 × 5 و36 = 6 ×6 :  نضع 2536
2. 600 = 10 × 2 × 6 × 5 
3. 3136 = 600 + 2536

إذن : 3136 = 56²

الأس والأساس.

قوى العدد 10 ذات الأس موجب

تعرفنا في درس سابق على القوى ذات الأس الموجب و تعرفنا على بعض الخاصيات المتعلقة بالقوى ذات اساس عشري نسبي و اس صحيح نسبيي موجب. في هذا الدرس سنتعرف على قوى العدد 10 و خاصياتها وكيف نستفيد منها لتسهيل العمليات الحسابية.

عندما نتحدث عن قوى العدد 10 ذات الأس الموجب فإننا نتحدث عن قوة أساسها العدد 10 و أسها عدد صحيح نسبيي موجب، تأمل ما يلي :

10x10 = 100

10x10x10 = 1000

10x10x10x10x10 = 10000

10x10x10x10x10x10 = 100000

10x10x10x10x10x10x10 = 1000000

10x10x10x10x10x10x10x10 = 10000000

10x10x10x10x10x10x10x10x10 = ...

10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = ...

يمكنك ملاحظة أن :

10² = 10x10 = 100 

10^{3 =} 10x10x10 = 1000

10^{4 =} 10x10x10x10 = 10000

..........

كما يمكنك ملاحظة أن :

بصفة عامة :
إذا كان n عدد صحيح نسبي موجب غير منعدم فإن :

خاصيات :
إذا كان n و m عددان صحيحان نسبيان فإن :

تطبيقات :
بدون إنجاز عملية الضرب أحسب مايلي معطيا النتيجة بدلالة قوى العدد 10 :

A = 200 x 13000  ;;  B = 10000000 x 50000  ;;  C = 5000 x 2000

A = 200 x 13000

= 2 x 100 x 13 x 1000

= 2 x 10² x 13 x 10³

= 2 x 13 x 10² x 10³

= 26 x 10⁵

B = 10000000 x 50000  

= 10⁷  x 5 x 10⁴

= 5 x 10¹¹

C = 5000 x 2000

= 5 x 10³ x 2 x 10³

= 5 x 2 x 10⁶

= 10 x 10⁶

= 10⁷

الزاويتان المتناظرتان.

الزاويتان المتناظرتان.

مستقيمان متوازيان و قاطع لهما يحددان عدة زوايا. في هذا الدرس نتعرف على زاويتين متناظرتين محددتين بمتوازيين و قاطع لهما و نتعرف على الخاصيتين ( المباشرة و العكسية ) التي تميزهما :

خاصية الزاويتان المتناظرتان

الزاويتان بلون أحمر (و أيضا بلون أخضر) تسميان زاويتان متناظرتان.

• إذاكان المستقيمان (MB) و (EK) متوازيان فإنللزاويتين المتناظرتين نفس القياس.
• عكسيا إذا حددت زاويتان متناظرتان مستقيمين و قاطع لهما فإن هذين المستقيمين يكونان متوازيين.

خاصية 1 :

   خاصية :

إذاكان d و 'd مستقيمين متوازيين مختلفين فإنهما يحددان مع كل قاطع لهما زاويتين متناظرتين متقايستين

خاصية 2 :

     خاصية :

إذاكان d و 'd مستقيمين مختلفين يحددان مع كل قاطع لهما زاويتين متناظرتين متقايستين فإن d و 'd يكونان متوازيين.

الزاويتان المتتامتان.

الزاويتان المتتامتان.

بعد أن تعرفنا على الزاويتين المتكاملتين حيث أن مجموع قياسهما هو 180 درجة. في هذا الدرس نتعرف على الزاويتين المتتامتين و كم يساوي مجموع زاويتين متتامتين.

  زاويتان متتامتان يكون مجموع قياسهما هو 90 درجة

منصفات المثلث وخاصيتها.

منصفات مثلث و خاصيتها

في هذا الدرس سنتعرف على منصفات مثلث بإعتبار أن منصف مثلث هو أحد المستقيمات الهامة في المثلث و تكمن الأهمية في كون أن هذه المستقيمات تحقق خاصية لم يسبق لنا ان تعرفنا عليها بعد. سنبدأ بإعطاء تعريف لمنصف مثلث ثم بعد ذلك نتطرق الى خاصية منصفات مثلث.

تعريف منصف مثلث :

تعريف : 

منصف مثلث هو منصف أحد زوايا هذا المثلث.

تعلمون أن للمثلث ثلاثة زوايا و بالتالي يمكن ان ننشئ ثلاثة منصفات. ليكن مثلا ABC مثلث :

حاولوا ان ترسموا على ورقة بيضاء مثلث ABC و بعد ذالك أنشئوا المنصفات الثلاث للزوايا A و B و C.
ماذا تلاحظون؟

إن كنت لا تعرف طريقة إنشاء منصف زاوية يمكنك مراجعة درس منصف زاوية و خاصياته و طريقة إنشاءه بالإنتقال إلى هذه الصفحة أو هذه الصفحة. أو يمكنك الإستعانة بهذه الصور التوضيحية :

بالمسطرة و المنقلة :
نقيس الزاوية و نشئ نقطة تكون على قياسين متساويين للزاوية

نقيس الزاوية و نشئ نقطة

 ننشئ المنصف بإستعمال المسطرة :

 ننشئ المنصف بإستعمال المسطرة

لا شك انك عندما ستنشئ هذه المنصفات الثلاث في المثلث ستجدها تتقاطع في نقطة واحدة.

 

 

خاصية منصفات مثلث:

منصفات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المحاطة.

في الفيديو التالي تجد الشروحات بتفصيل لطريقة إنشاء منصفات المثلث و الدائرة المحاطة به :

1. ننشئ منصف الزاوية التي رأسها A
2. ننشئ منصف الزاوية التي رأسها B :  المنصفان يتقاطعان في 0
3. ننشئ النقطة T المسقط العمودي للنقطة 0 على المستقيم (AB) 
4.  ننشئ الدائرة التي مركزها 0 وتمر من T ، شاهد :

http://www.youtube.com/watch?v=PKDgdujSbxM

انشاء مستقيمين متوازيين.

إنشاء مستقيمين متوازيين

يكون مستقيمان في المستوى إما متوازيين، متقاطعين أو منطبقين. إذا كان  (d)و(d’)  متوازيين فإنهما لا يشتركان في أية نقطة، وإذا كانا يشتركان في نقطة وحيدة نقول أنهما متقاطعين. أما إذا كانا يشتركان في أكثر من نقطة فهما منطبقان.

لإنشاء مستقيمين متوازيين يمكن أن نستعمل الكوس و المسطرة الغير المدرجة.
في الفيديو التالي سوف نتناول ما يلي :

1 - إنشاء  مستقيمين متوازيين بإستعمال الكوس و المسطرة الغير المدرجة
2 -  إنشاء مستقيم مواز لمستقيم أخر ومار من نقطة معلومة بإستعمال الكوس و المسطرة الغير المدرجة

http://www.youtube.com/watch?v=t1LED82Qrms